美国独立日那天，波士顿查尔斯河岸边野餐、等着看烟花的人，被请去填一份问卷，报酬是一根冰淇淋雪糕。第一道题是：
球拍和球一共 1.10 美元，球拍比球贵 1 美元。球多少钱？
答案几乎是自己跳出来的：10 美分。研究者谢恩·弗雷德里克前后收了 3428 人的答卷，页边上常常是 10 美分被划掉，旁边写着 5 美分，「但从来没有反过来的」。他还让大家估计，别的答题者里有多少人能做对。答 10 美分的人估计 92%，答 5 美分的人估计 62%。
做错的人，反倒觉得题更容易。球是 5 美分。
两个角色
答案会自己很快冒出来；检查它要费劲，而且常常没开始。
弗雷德里克借用了心理学家基思·斯坦诺维奇和理查德·韦斯特 2000 年给两类思考起的名字。系统 1 是快的那种：有人走进教室，你一眼认出是数学老师，瞬间完成，不费力气。系统 2 是慢的那种：不用计算器，把 19163 开平方算到小数点后两位，要花力气、要有动力、要集中精神。这道题，没有哪个数会自己冒出来。
球拍和球这道题，是在邀请系统 1 抢答。系统 2 得自己发现：1 美元和 10 美分只差 90 美分。弗雷德里克有一组对照，能看出检查什么时候才启动：香蕉和百吉饼一共 37 美分，香蕉贵 13 美分，百吉饼多少钱？这道题做错的人少得多。这组数字招人去算，人也就算了。
2011 年，丹尼尔·卡尼曼用斯坦诺维奇和韦斯特的这两个名字，撑起了《思考，快与慢》整本书。他对这两个名字说得很小心：它们是「虚构的角色」，「大脑里并没有哪一块地方是哪个系统的家」。用它们，是因为一句话讲「系统 2 做了什么」，比讲「心算」更好懂。
没站住的部分
题目本身至今还能绊倒人。2023 年，研究者在网上找了几百人做这类题，答对的比例是 38%，弗雷德里克原研究里是 41%。
书里倚重的一些证据却没站住。有一章靠的是启动效应研究，说细微的暗示能改变人的行为。2012 年 9 月，卡尼曼写信给这个领域的研究者：「我看到一场火车事故正在逼近。」2014 年，「多实验室」项目在 36 个样本里重做了 13 个效应，两个启动效应没能重复出来。2017 年，有人分析了那一章引用的研究，卡尼曼回应说：「这篇博文说得完全对的一点是，我太相信那些统计效力不足的研究了。」他也说，自己对引用过的每项研究仍有感情，乐见每一项都在大样本里重做一遍。
书里还介绍了「自我损耗」：用力克制过一次，下一回就更难克制。2016 年，23 个实验室、2141 名参与者用同一套标准程序重做了这个实验，效应接近于零。
连这道题量的是什么，也有争议。2015 年，亚历山大·西纳耶夫和埃伦·彼得斯在两项研究里发现，这套测试之所以能预测更好的决策，靠的是对数字的熟练，而不是反思。
感觉像 25 的折扣
假设一位销售来找你批一单：先打八五折，提前付款再打九折。你批了「优惠 25%」，因为加起来就是这么多。
其实不是。在八五折的基础上再打九折，合起来是 23.5%。报价按 25% 发了出去，多让的那一个半百分点，合同期内的每一张发票上都要扣一次。
这道算术一点也不难，问题恰恰在这里。弗雷德里克的数据里，做错球拍和球的人，恰恰觉得这道题更容易。
答「30 天」的模型
2023 年，蒂洛·哈根多夫、萨拉·法比和米哈尔·科辛斯基把 150 道这类题，交给 OpenAI 从 GPT-1 到 ChatGPT-4 的一系列模型，也交给人来做。其中一道，正确答案是 59 天，陷阱是把总天数除以二，答 30 天。
在这 150 道题上，GPT-3-davinci-003 有 80% 的时候掉进陷阱，人是 55%。研究者在题后加上一句「我们用代数来解这道题」，它每次都写出了推导过程，掉进陷阱的降到 29%。可答对的只从 5% 升到 28%，因为别的错答案从 15% 涨到了 43%。ChatGPT-4 则大多答对，被要求只给最短的答案、不解释时，仍有 88% 是对的。
作者用了快与慢的说法，但也明说，他们无意把人工智能和人的认知过程等同起来。他们只测了 OpenAI 的模型，也承认有些模型可能在训练中见过足够多的同类题，是凭记忆答的。
这个实验你可以自己做一个小版本。同一道算数的题，开两个全新的对话各问一次：一次只要答案，一次让它把过程写出来。两个答案对不上，就自己把算术核一遍。写了过程也不等于对：那个 GPT-3 模型写出推导之后，仍然将近四题错三题。
球是 5 美分。1.05 美元加 5 美分，正好 1.10 美元。核一遍用的时间，比读题还短。